纤维取向的平均概率分布函数为描述流场中任一位置纤维取向的概率分布，本文定义（t，x，pi）函数，这里pi为平行于纤维轴的单位矢量，那么（t，x，pi）dpi就是纤维取向介于pi和（pi+dpi）之间的概率，（t，x，pi）满足以下的守恒方程：t+ujxj=-（pj）pj。（1）式中：uj为流场的速度，pj为纤维的角速度：pi=-ijpj+ijpj-klpkplpi。（2）式中：ij=（uj/xi-ui/xj）/2为流场的涡度张量；参数=（r2-1）/（r2+1），其中r为纤维长径比；ij=（ui/xj+uj/xi）/2为流场的应变率张量。
将式（1）中流场的瞬时速度、纤维的瞬时概率分布函数和瞬时角速度表示为平均量和脉动量之和：uj=uj+uj，=+，pj=p-j+pj。（3）将式（3）代入式（1），并对方程两边取平均得t+ujxj+（p-j）pj=ujxj-（pj）pj。（4）式中：uj和pj分别为纤维取向脉动概率分布函数与流场脉动速度、纤维脉动角速度的关联，其物理含义分别为在湍流脉动的作用下，纤维平均概率分布函数沿空间和方向角的扩散，因此可以表示为-uj=xj；-pj=pj，（5）式中：x和p分别为纤维线位移和角位移的扩散系数。将方程式（5）代入方程式（4）得t+ujxj+（p-j）pj=x2x2j+p2p2j。
（6）式中：p-j可以用相应的表达式代入，为此将方程式（2）中的纤维瞬时角速度、流场的瞬时涡度张量和瞬时应变率张量表示成平均量和脉动量之和。
槽道湍流场中的平均概率分布函数平均概率分布函数方程将方程式用于所示的槽道流场，纤维轴向与x方向的夹角用表示，纤维的半径和半长分别为a和l.在直角坐标下，定常流场的纤维平均概率分布函数方程可以简化。
附加剪切应力和第一法向应力差与单纯的牛顿流体相比，纤维悬浮流多了附加应力，而且流变特性发生了变化，其主要特征之一是具有第一法向应力差。对于本文的二维槽流，纤维悬浮流剪切应力和第一法向应力差分别为（12=）+）pa1122，（12）（11-（22=）p（a1112-a1222）。
计算结果及讨论纤维总体取向分布为纤维取向概率分布的三维图，可见在0和180时有最大值，在90有最小值，即纤维的轴向与流动方向平行的概率最大、垂直的概率最小，其原因是流场的平均速度梯度在纤维上产生了一个力矩，该力矩使得纤维产生转动，而纤维的轴向与流动方向平行时，纤维受到的力矩最小。由于湍流场中还有脉动速度对纤维的作用，该作用是接近各向同性的，它使得纤维的取向随机分布，这也使得纤维的轴向与流动方向平行的现象不像层流的情况那样明显，而脉动量的特征长度远小于纤维的特征长度，因此脉动速度的作用受到限制，平均速度梯度和脉动速度综合作用的结果形成了的分布。以上结论与Bernstein和Shapiro<11>在圆管中的实验结果一致，但他们的实验结果给出的仅仅是圆管中线附近的纤维取向分布，则显示了从壁面到槽道中心的纤维的取向分布，可见纤维的取向分布沿着槽道宽度的方向几乎保持不变。
纤维长径比对取向分布的影响为不同长径比下纤维取向的平均概率P分布，可见随着长径比的增加，纤维取向趋向于流动方向分布，当长径比r=1时，取向完全等概率分布，如（a）。当r5时，曲线几乎重叠，从（b）可以看出，此时长径比增加使得分布曲线更加陡峭，但已经对取向分布影响很小。这可解释为：r=1相当于圆球的情形，此时粒子已接近各向同性，因此取向分布是等概率的。在r<5的范围内，随着长径比的增大，平均速度梯度产生的力矩也逐渐增大，而脉动速度的作用相对变小，因此纤维的轴向开始趋向于平行于流动的方向，概率分布曲线的最大值和最小值之差也增大。当r5以后，平均速度梯度的特征尺度也小于纤维的特征尺度，对纤维的作用已经很弱，因此再增加长径比，纤维的取向分布基本不改变。
流场压降对取向分布的影响改变流场的压降dp/dx可以得到不同压降下纤维的取向分布。本文分别取dp/dx=-0.1、-0.4、-1、-10、-100，在其他条件不变的前提下，变化压降意味着流场速度变化，即雷诺数发生变化，对应以上压降的雷诺数分别为10991、24153、40458、145970和518590.计算结果表明，各种压降下纤维的取向分布几乎相同，这是因为在以上5种压降下，流场雷诺数已经很大，流场已成为充分发展湍流场，平均速度剖面和脉动速度结构已趋于稳定，因此流场对纤维取向的影响也趋于不变。
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